Flussabbildungen

Flussabbildungen bezeichnen in der Mathematik die Familie von Abbildungen, die den zeitlichen Verlauf eines Vektorfeldes X auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M beschreiben. Gegeben sei X ∈ Γ(TM). Ein Fluss φ: I × M → M ist eine glatte Abbildung, die φ(0, x) = x für alle x ∈ M erfüllt und deren zeitliche Ableitung der Pfadgleichung d/dt φ(t, x) = X(φ(t, x)) folgt. Für jedes t ∈ I definiert φ_t: M → M durch φ_t(x) = φ(t, x) die Flussabbildung zum Zeitpunkt t.

Falls X vollständig ist, existiert ein globaler Fluss φ: R × M → M, und jedes φ_t ist eine Diffeomorphismus; außerdem gilt φ_s ∘ φ_t = φ_{s+t} und φ_0 = id. Die Abbildung φ ist glatte Abbildung in t und x und liefert eine one-parameter Gruppe von Diffeomorphismen auf M.

Eigenschaften: Der Fluss erzeugt eine Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung d/dt x(t) = X(x(t)) mit Anfangsbedingung x(0) = x. Die Flussabildung ist stetig in t und x, und die Abhängigkeit von t ist glatt. Für vollständige Vektorfelder sind die Flussabbildungen für alle Zeiten definiert und bilden eine Kontinua-Gruppe im diffeomorphismischen Automorphismen-Satz.

Beispiele: In R^n mit X(x) = v konstant ist φ_t(x) = x + t v; auf der Kreislinie S^1 mit dem Rotationsvektorfeld ergibt φ_t eine Rotation um den Winkel t, eine Isometrie von S^1.

Bedeutung und Anwendungen: Flussabbildungen beschreiben die zeitliche Evolution dynamischer Systeme, dienen zur Analyse von Stabilität, Invarianten und Ergodizität und verbinden Differentialgleichungen mit der Darstellung von Lie-Gruppen als eine-Parameter-Untergruppen der Diff(M).