Feldwerten

Feldwerten bezeichnet in der Mathematik und Physik die Werte, die ein Feld jedem Punkt eines zugrunde liegenden Raums zuordnet. Ein Feld ist eine Abbildung, die jedem Punkt p eines Raums M einen Wert aus einer Menge S zuordnet. Je nach Art des Feldes nehmen die Werte eine skalare, vektorielle oder tensorielle Form an. Typische Beispiele sind skalare Feldwerte wie eine Temperaturverteilung T(p), Vektorfeldwerte wie die Geschwindigkeit v(p) eines Fluids oder Tensorwerten wie der Metriktensor g(p) in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Das elektromagnetische Feld wird oft durch zwei Vektorfelder E(p) und B(p) beschrieben. Feldwerte können sowohl theoretisch definiert als auch durch Messungen bestimmt werden.

Eigenschaften solcher Felder umfassen Konstanz oder Variabilität über den Raum, Kontinuität, Differenzierbarkeit und Glattheit. Viele Felder sind in der Praxis als stetig oder differenzierbar modelliert, sodass man lokale Ableitungen bildet und Veränderungen zwischen benachbarten Punkten beschreibt. Die Beschreibung von Feldwerten ist in Koordinaten möglich, aber naturgemäß koordinatenunabhängig: Die Werte gehören zur intrinsischen Struktur des Feldes, während Komponenten in einer gewählten Koordinatenbasis angegeben werden.

Mathematisch werden Felder oft als Abbildungen F: M -> S formuliert, wobei M der zugrunde liegende Raum ist (etwa eine Mannigfaltigkeit) und S die Zielmenge (R, R^n, Tensorraum). Feldwerte erfüllen in der Regel zusätzliche Strukturgleichungen, wie partiell differentialgleichungen, die die Abhängigkeiten zwischen den Werten an benachbarten Punkten festlegen.

In der Anwendung dienen Feldwerte der Modellierung physikalischer Größen (Temperatur, Druck, Felder in der Elektrodynamik), geowissenschaftlicher Phänomene sowie in der Computergrafik und Visualisierung von Potentialen und Verteilungen.