Fehlerterms

Fehlerterm bezeichnet in Wissenschaft und Technik den verbleibenden Anteil eines Wertes, der nach einer Näherung, einem Modell oder einer Messung übrig bleibt und der nicht durch die berücksichtigten Terme erklärt wird. Er dient der Quantifizierung der Ungenauigkeit eines Modells oder einer Berechnung und hilft, die Zuverlässigkeit von Vorhersagen oder Approximationen abzuschätzen.

In der Analysis tritt der Fehlerterm vor allem in Taylor- oder Potenzreihenentwicklungen auf. Wird eine Funktion f um einen Punkt a durch ein Polynom T_n(nach dem Grad n) angenähert, lässt sich f(x) = T_n(x) + R_n(x) schreiben, wobei R_n(x) der Rest- oder Fehlerterm ist. Typisch werden Bounds oder Ordnungsbeziehungen wie R_n(x) = O(|x-a|^{n+1}) oder R_n(x) = o(|x-a|^{n+1}) verwendet. Praktische Restformeln liefern oft konkrete Schranken, etwa R_n(x) = f^{(n+1)}(ξ)/(n+1)! (x-a)^{n+1} für einige ξ zwischen a und x.

In der numerischen Praxis begegnen Fehlertermen als Truncationsergebnis (Rest nach Abbruch einer Sequenz oder eines Iterationsverfahrens) sowie als Rundungsfehler, der durch die begrenzte Repräsentation von Zahlen im Computer entsteht. Die Gesamterroranalyse betrachtet oft beide Quellen, um Strategien zur Reduktion der Ungenauigkeit zu entwerfen, beispielsweise durch höhere Ordnung, adaptives Refinement oder stabilere Algorithmen.

In der Statistik und Datenanalyse bezeichnet der Begriff oft den zufälligen Fehlerterm ε in Modellen wie y = f(x) + ε, der die nicht erklärbare Variation erfasst. Typische Annahmen umfassen E[ε]=0 und Var(ε)=σ², was die Interpretation von Residuen und die Schätzung von Modellparametern beeinflusst.