Federschwingungen

Federschwingungen bezeichnen die Oszillationsbewegung einer Masse, die an einer Feder befestigt ist. Die Feder erzeugt eine rücktreibende Kraft F = -k x, wobei k die Federkonstante ist und x die Auslenkung vom Gleichgewichtspunkt misst. In der idealen, ungedämpften Form gilt m x¨ + k x = 0, was zu einer harmonischen Schwingung mit der natürlichen Winkelgeschwindigkeit ω0 = sqrt(k/m) und der Periode T = 2π sqrt(m/k) führt.

Bei Reibung oder dissipativen Kräften ändert sich die Gleichung zu m x¨ + c x˙ + k x = 0, wobei c der Dämpfungskoeffizient ist. Die Lösung hängt vom Dämpfungsgrad ζ = c/(2√(m k)) ab. Unterdämpft (ζ < 1) schwingt es mit e^{-ζ ω0 t} abklingender Amplitude; die reduzierte Frequenz ist ωd = ω0 sqrt(1-ζ^2). Genau gedämpft (ζ = 1) hat x(t) die Form (A + B t) e^{-ω0 t}. Überdämpft (ζ > 1) ergibt sich eine Summe zweier exponentieller Funktionen mit negativen Raten r1, r2.

In vertikaler Anordnung verschiebt sich das Gleichgewicht durch das Gewicht mg; üblicherweise wird x relativ zu diesem Gleichgewicht gemessen, sodass die Grundgleichung unverändert bleibt. Energetisch führt Dämpfung zu fortlaufender Energieabgabe in Wärme, und kinetische sowie potenzielle Energie der Schwingung sinken entsprechend. Federschwingungen finden breite Anwendung in Uhren, Sensorik, Regelungstechnik, Schwingungstilgung und ingenieurtechnischen Konstruktionen.