Exponentiellt

Exponentiellt beskriver en process där en storhet ökar eller minskar med en konstant relativ förändring per tidsenhet. Den kontinuerliga modellen skrivs som y(t) = y0 e^{kt}, där y0 är startvärdet och k är tillväxt- eller nedgångsrate. Om k > 0 växer storheten exponentiellt, om k < 0 minskar den exponentiellt.

I diskret tid används ofta y_n = y0 b^{n} eller y_t = y0 (1 + r)^{t}, där b > 0 och b ≠ 1. Här motsvarar r den relativa förändringen per tidsenhet. Den naturliga basen e används ofta i kalkyler och differentialekvationer, eftersom derivatan av e^{x} är e^{x}.

Egenskaperna är att processen innebär konstant relativ förändring, vilket ger en kurva som växer snabbt jämfört med linjär tillväxt. För k > 0 växer den oavbrutet och har en halveringstid eller dubbeltid: Dubbeltiden T_d = ln(2)/k; vid k < 0 kallas motsvarande tidsåtgång halveringstid T_{1/2} = ln(2)/|k|. I diskret form är motsvarande tidsmått T_d = log_b(2) när b > 1.

Användningsområden för exponentiell förändring är breda och inkluderar befolknings- och ekonomiska modeller, ränta på ränta, radioaktivt sönderfall, läkemedelskinetik, spridning av sjukdomar samt teknisk utveckling och tillväxtprocesser inom olika fält.