Eulerwinkelparameterisierung

Die Eulerwinkelparameterisierung beschreibt die Orientierung eines Körpers im dreidimensionalen Raum durch drei Winkel, die eine Rotationsfolge festlegen. Typischerweise werden die Winkel als phi, theta und psi bezeichnet (manchmal auch yaw, pitch, roll). Die Konvention bestimmt die Reihenfolge der Rotationen um die Achsen; eine häufig verwendete Variante ist ZYX, das heißt Rotationen um z, dann um y, dann um x.

Die Parameterisierung liefert eine lokale Darstellung der Gruppe SO(3). Sie ist praktisch, doch kann sie in bestimmten Konfigurationen zu Mehrdeutigkeiten oder Instabilitäten führen (Gimbal-Lock), bei dem ein Freiheitsgrad verloren geht und mehrere Orientierungspunkte durch dieselben Winkel beschrieben werden können.

Mathematisch ergibt sich die Gesamtrotation aus der Produktbildung der drei Rotationen. Für die ZYX-Konvention gilt R = Rz(phi) · Ry(theta) · Rx(psi) mit den Matrizen Rz(phi) = [[cos phi, -sin phi, 0], [sin phi, cos phi, 0], [0, 0, 1]], Ry(theta) = [[cos theta, 0, sin theta], [0, 1, 0], [-sin theta, 0, cos theta]], Rx(psi) = [[1, 0, 0], [0, cos psi, -sin psi], [0, sin psi, cos psi]]. Die resultierende 3x3-Matrix R beschreibt die Orientierung relativ zur Ausgangsorientierung.

Gimbal-Lock tritt typischerweise auf, wenn theta = ±90 Grad (±π/2), wodurch zwei Achsen kollidieren und die Beschreibung nicht eindeutig bleibt. Eulerwinkel sind damit eine von mehreren Möglichkeiten, Orientierungen zu parametrisieren; Alternativen sind Axis-Angle-Darstellung oder Quaternionen, die oft robuster gegen Singularitäten sind. Anwendungen finden sich in Luft- und Raumfahrt, Robotik, Computergrafik und Computer Vision. Die Bezeichnung Eulerwinkel geht auf Leonhard Euler zurück, der diese Art der Orientierungdarstellung einführte.