Eulermethode

Die Eulermethode (auch Euler-Verfahren) ist ein einfaches numerisches Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen. Es handelt sich um ein explizites Verfahren erster Ordnung, das y' = f(t, y) mit gegebenem Anfangswert y(t0) = y0 näherungsweise löst.

Die Idee: Spannweiten h > 0 festlegen und auf dem Intervall [t0, T] schrittweise vorgehen. Aus dem aktuellen Punkt (t_n, y_n) wird die Steigung der Lösung durch f(t_n, y_n) bestimmt. Der nächste Wert wird dann durch t_{n+1} = t_n + h und y_{n+1} = y_n + h f(t_n, y_n) berechnet. So ergibt sich eine Folge von Näherungswerten y_n ≈ y(t_n).

Eigenschaften: Die Methode ist einfach zu implementieren und rechnerisch günstig. Sie besitzt eine Lokallieferung von O(h^2) und eine globale Fehlerordnung O(h), vorausgesetzt, f ist ausreichend glatt. Sie ist besonders geeignet für nicht-stabile, nicht-steife Gleichungen und kurze Integrationsabschnitte.

Einschränkungen: Die Genauigkeit hängt stark von der Schrittweite ab; bei großen h kann die Lösung stark abweichen oder instabil werden. Für steife Gleichungen ist das Verfahren in der Regel ineffizient oder ungeeignet; es erfordert sehr kleine h oder Stabilitätsverbesserungen.

Varianten und Bezug: Als Basismethode dient es oft als Ausgangspunkt für stabilere Verfahren; eine gängige Erweiterung ist das verbesserte Euler-Verfahren (Heun-Verfahren), das eine höhere Ordnung erreicht. Die Methode ist nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt und gehört zu den ältesten numerischen Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen.