Equipotência

Equipotência é um conceito fundamental em teoria dos conjuntos. Dois conjuntos A e B são equipotentes quando existe uma bijeção f de A para B. Nesse caso, A e B têm a mesma cardinalidade, e escrevemos |A| = |B|. Para conjuntos finitos, equipotência equivale a ter o mesmo número de elementos. Em conjuntos infinitos, a equipotência continua a ser a noção central para comparar o tamanho de conjuntos de forma diferente da contagem direta.

Exemplos típicos ilustram o conceito. Os conjuntos dos números naturais N e dos números inteiros Z são equipotentes, pois há bijeções entre eles (por exemplo, mapeando Z para N de forma que cada inteiro corresponda a um natural). Também N e o conjunto dos números pares 2N são equipotentes via a bijeção n ↦ 2n. Esses exemplos mostram que conjuntos infinitos podem ter a mesma cardinalidade mesmo que pareçam de tamanhos diferentes.

Propriedades formais: equipotência é uma relação de equivalência nos conjuntos (reflexiva, simétrica e transitiva). O teorema de Cantor-Schröder-Bernstein afirma que, se A pode ser injetado em B e B pode ser injetado em A, então A e B são equipotentes; ou seja, existem bijeções entre eles. Em teoria dos conjuntos, a classe de todos os conjuntos é particionada em classes de equipotência, e cada classe pode ser representada por um número cardinal, ou cardinal, que serve como o tamanho da classe.

Distinção entre finitos e infinitos: para conjuntos finitos, a equipotência coincide com a contagem de elementos. Para conjuntos infinitos, surgem noções de cardinalidades maiores, como alephs, e, por exemplo, o conjunto dos reais R tem cardinalidade maior que N. A noção de equipotência é central para a matemática, fornecendo uma maneira uniforme de comparar tamanhos de conjuntos.