Endomorphismuskategorien

Endomorphismus bezeichnet in der Mathematik einen Morphismus von einem Objekt zu sich selbst. In einer Kategorie C ist ein Endomorphismus f: X → X ein Morphismus, dessen Quelle und Ziel identisch sind. Die Menge End_C(X) der Endomorphismen von X bildet mit der Komposition einen Monoid; in vielen Kontexten erhält man zusätzlich Ring- oder Algebrastrukturen, etwa wenn X eine Vektorraum- oder Modulstruktur trägt.

Im Bereich der Vektorräume über einem Körper F ist ein Linearendomorphismus f: V → V eine Abbildung, die die Vektorraumstruktur erhält. Mit einer Basis lässt sich f durch eine n×n-Matrix A darstellen; die Zuordnung f ↔ A liefert eine Isomie End(V) ≅ M_n(F) als Ring. Zu den einfachen Endomorphismen gehören die Identität id_V und der Nullendomorphismus 0_V. Wichtige Konzepte sind Kern und Bild von f, das Rang–Nullität-Theorem sowie Eigenwerte und das charakteristische Polynom. Besondere Typen umfassen Projektionen (P^2 = P), Nilpotente Endomorphismen (f^k = 0) und Automorphismen (invertierbar, d.h. f besitzt eine Inverse).

In der Modul- und Ringtheorie heißt End_R(M) der Ring der R-linearen Endomorphismen des R-Moduls M; in der Kategoriesprache ist End(X) das Hom(X, X). Endomorphismen bilden damit oft den Ausgangspunkt für Strukturanalyse, Representationstheorie und Algebraische Geometrie, wo man Endomorphismen von Objekten untersucht, um deren invarianten Eigenschaften zu verstehen.