Dualräume

Der Dualraum eines Vektorraums V über dem Feld F, oft als V* bezeichnet, ist die Menge aller linearen Abbildungen f: V → F. Jedes f heißt Linearfunktional. V* ist selbst ein Vektorraum über F, dessen Vektoraddition und Skalarmultiplikation punktweise erfolgen.

Es gibt eine natürliche Paarung zwischen V und V*: das Bilinearpaar <v, f> = f(v) für v in V und f in V*. Diese Paarung bildet die Grundlage für viele Konzepte der linearen Algebra, etwa Unterstützung durch Dualbasen und die Darstellung linearer Abbildungen.

Im Fall von endlichen dimensionen gilt dim V* = dim V = n. Es existiert eine kanonische Gleichsetzung zwischen V und V**, dem Dualraum von V*, über den sogenannten Naturalisierungs- oder Evaluationsabbildung J: V → V**, definiert durch J(v)(f) = f(v). In endlicher Dimension ist J eine Isomorphie, daher gilt V ≅ V**.

Bei unendlicher Dimension ist J meist injektiv, aber nicht zwangsläufig surjektiv. Das bedeutet, V kann von V** nicht immer vollständig identifiziert werden. In der Functional-Analyse unterscheidet man oft den algebraischen Dualraum (alle Linearfunktionale) vom topologischen Dualraum (alle stetigen Linearfunktionale), was insbesondere bei normierten, Banach- oder Hilbert-Räumen eine Rolle spielt.

Weitere Beispiele und Spezialfälle: In R^n mit der Standardbasis entspricht jeder Koordinatenfunktional f_i das Ablesen der i-ten Koordinate. Im Hilbertraum R^n mit dem skalarprodukten liefert der Riesz-Repräsentationssatz eine natürliche Identifikation von V mit V*, sodass jeder stetige lineare Funktional durch ein eindeutiges Vektorprodukt mit einem Vektorfunktional dargestellt wird.

Verallgemeinert ist der Dualraum ein zentrales Werkzeug in der linearen Algebra, der Funktionalanalysis und in der Theorie der Tensoren; er dient unter anderem der Beschreibung linearer Abbildungen, der Definition von Reflexivität und der Konstruktion von Dualräumen in verschiedenen Kategorien.