Evaluationsabbildung

Eine Evaluationsabbildung ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem Funktionsraum aus X nach Y eine konkrete Funktionsauswertung an einer festgelegten Stelle x0 in X zuordnet. Formal sei X eine Menge, Y eine Menge und F eine Teilmenge von Y^X (das heißt, F besteht aus Funktionen von X nach Y). Für x0 ∈ X definiert die Evaluationsabbildung ev_{x0}: F → Y durch ev_{x0}(f) = f(x0). Ist F der gesamte Funktionsraum Y^X, spricht man von der Evaluationsabbildung am Punkt x0.

Eigenschaften: Wenn Y mit einer Topologie versehen ist und F eine Teilmenge von Y^X mit der Produkttopologie ist, dann ist ev_{x0} stetig. Falls Y ein topologischer Vektorraum ist und F eine Teilmenge linearer Abbildungen X → Y bildet, ist ev_{x0} eine lineare Funktionalität. In normierten Funktionsräumen gilt oft eine Normabschätzung: Zum Beispiel in C[a,b] mit der Supremumsnorm erfüllt ‖ev_{x0}‖ = 1, da |f(x0)| ≤ ‖f‖∞.

Beispiele: Die Evaluationsabbildung ev_t in C[a,b] für t ∈ [a,b] wählt den Funktionswert bei t. Im Raum der Polynome P_n ist ev_x0 ein Linearfunktionsoperator, der das Polynom an der Stelle x0 auswertet. In ℝ^N entspricht ev_i der Auswertung eines Vektors an der i-ten Koordinate.

Verwendungen: Evaluationsabbildungen dienen der Beschreibung punktweiser Konvergenz, der Definition der Punkt- und Produkt Topologien auf Funktionsräumen und spielen eine Rolle bei der Untersuchung von Dualräumen und schwacher Topologie. In vielen Kontexten liefern sie eine konkrete Möglichkeit, abstrakte Funktionsräume durch ihre Werte an festen Stellen zu charakterisieren.