Koordinatenfunktional

Koordinatenfunktional bezeichnet in der linearen Algebra und der Funktionalanalysis einen linearen Funktional, der eine Koordinate einer Vektorzerlegung aus der fest gewählten Basis zurückgibt. Sei V ein Vektorraum über dem Feld F (typischerweise R oder C) mit einer Basis (e1, …, en). Der i-te Koordinatenfunktional fi: V → F ist definiert durch fi(∑_{j=1}^n v_j e_j) = v_i. Damit liefert fi die i-te Koordinate des Vektors in dieser Basis. Fi entspricht dem i-ten Element der Dualbasis und erfüllt fi(e_j) = δ_ij (Kronecker-Delta). Die Koordinatenfunktionalen bilden in V* die Dualbasis zu der gewählten Basis.

Im endlichen Fall sind alle linearen Funktionale kontinuierlich, und der Dualraum V* wird durch die Koordinatenfunktionale erzeugt. In der Standarddarstellung von R^n mit der üblichen Norm entsprechen fi der Projektion auf die i-te Koordinate. In unendlichen Dimensionen lässt sich das Konzept analog fortführen, etwa für eine Schauderbasis (e_n): Die n-te Koordinate eines Vektors x mit Darstellung x = ∑ a_n e_n ist f_n(x) = a_n; deren Stetigkeit hängt von der Topologie und der Art der Basis ab.

Beispiele: In R^3 mit der Standardbasis e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1) gilt f1(x,y,z)=x, f2(x,y,z)=y, f3(x,y,z)=z. In dem Banachraum l^p (1 ≤ p ≤ ∞) ist f_n(x) = x_n.

Verwendungen: Koordinatenfunktionale dienen dazu, Vektoren zu zerlegen, Projektionen auf Basisgeraden zu definieren und den Zusammenhang zwischen Vektorraum und Dualraum herzustellen. Sie bilden die Grundlage für darstellende lineare Abbildungen und für die Analyse von Koordinatendarstellungen in verschiedenen Kontexten. See also Dualbasis, Dualraum, Projektionen, Schauderbasis.