Koordinatenfunktionale

Koordinatenfunktionale sind lineare Funktionale, die zu einer Basis eines topologischen Vektorraums gehören und die Koordinaten eines Vektors bezüglich dieser Basis liefern. Sei X ein Banachraum mit einer Schauderbasis (e_n), sodass jeder x ∈ X eindeutig x = sum_{n=1}^∞ x_n e_n mit Konvergenz in der Norm darstellt. Dann existieren eindeutige stetige lineare Funktionale e_n* ∈ X*, die e_n*(e_m) = δ_nm erfüllen; das biorthogonale System {e_n, e_n*} ergibt die Koordinaten x_n = e_n*(x) für alle n. Die Abbildung x ↦ (x_n) heißt Koordinatenabbildung.

Eigenschaften: Die Koordinatenfunktionale bilden ein biorthogonales System zum Basisvektorensystem. Die partiellen Summen S_N x = sum_{n=1}^N x_n e_n dienen als endliche Projektionen auf die ersten N Koordinaten; sie konvergieren gegen x. Die Stetigkeit der Koordinatenfunktionale folgt aus der Schauderbasisstruktur; die dazugehörigen Projektionen P_N x = S_N x sind stetig, und ihre Normen sind in der Regel durch die Basis beschränkt.

Beispiele: In ℓ^p mit 1 ≤ p < ∞ besitzt die Standardbasis e_n die Koordinatenfunktionale e_n*(x) = x_n; diese gehören zum Dualraum ℓ^q mit 1/p + 1/q = 1. In endlichen Räumen entspricht e_n* der n-ten Koordinate.

Anwendungen: Koordinatenfunktionale ermöglichen die Darstellung von Elementen durch deren Koordinaten, definieren Projectionsysteme und spielen eine zentrale Rolle bei der Analyse von Basismerkmalen wie Unbedingtheit, Konvergenzverhalten und Stabilität von Projektionen. In Räumen ohne Schauderbasis können solche Funktionale fehlen oder anders definiert sein.