Gleichsetzung

Gleichsetzung bezeichnet in der Mathematik, Logik und verwandten Disziplinen den Akt, zwei Ausdrücke als denselben Wert oder dieselbe Entität zu identifizieren und deswegen austauschbar zu machen. Der Begriff leitet sich von den deutschen Wörtern gleich und Setzung ab. In formalen Belegen ermöglicht Gleichsetzung, dass gleichwertige Ausdrücke wörtlich an derselben Stelle ersetzt werden können, ohne die Bedeutung oder den Wert zu verändern.

Im Algebra- und Rechenkontext bedeutet Gleichsetzung, dass aus einer vorhandenen Gleichheit a = b jedes Auftreten von a durch b ersetzt werden darf. Beispiele: Aus a = b folgt a + c = b + c; aus f(a) = f(b) folgt f(a) = f(b) oder allgemein das Ersetzen von Termen innerhalb von Gleichungen und Ausdrücken. In Lösungsprozessen dient es der Vereinfachung und der schlussfolgernden Ableitung.

In der formalen Logik und Mathematik ist Gleichsetzung eng mit dem Gleichheitsrezept verbunden und beruht auf Eigenschaften wie Reflexivität (a = a), Symmetrie (a = b impliziert b = a) und Transitivität (a = b und b = c ⇒ a = c) sowie der Substitutionseigenschaft: Wenn a = b, dann gilt für Prädikate P, P(a) ⇔ P(b); bei Funktionen folgt daraus P(a) = P(b). Dieses Prinzip ermöglicht, Ausdrücke in Beweisen konsistent zu verändern und zu vereinfachen.

Außerdem wird der Begriff auch außerhalb der formalen Mathematik verwendet, etwa in Wissenschaftsphilosophie oder Sprach- und Logikdiskussionen, wo Gleichsetzung die Identifikation oder Gleichwertigkeit von Begriffen oder Modellen beschreibt.

Siehe auch: Gleichheit, Substitution, Leibnizsche Gesetz, Rewriting, Gleichungslogik.