Substitutionseigenschaft

Substitutionseigenschaft, auch Substitutionsprinzip genannt, bezeichnet in der Mathematik und Logik das Grundprinzip, dass gleichwertige Ausdrücke in jeder gültigen Umgebung durch einander ersetzt werden dürfen, ohne dass sich der Wert oder die Gültigkeit verändert. Sie folgt aus dem Axiom der Gleichheit und bildet eine zentrale Regel für Beweise, Beweisführung sowie die algebraische Manipulation.

Formelhaft bedeutet die Substitutionseigenschaft: Wenn a = b, dann gilt in jedem Ausdruck E, in dem a vorkommt, E(a) = E(b), sofern der Ausdruck sinnvoll bleibt. Diese Idee lässt sich in vielen konkreten Beispielen beobachten: Aus a = b folgt im Ausdruck a + c gleichbedeutend b + c, ebenso gilt f(a) = f(b) für jede Funktion f, und allgemein können Operationen wie Addition, Multiplikation oder Potenzierung auf äquivalente Argumente angewandt werden.

Beispiele verdeutlichen die Anwendung: Ist a = b, dann ist a·d = b·d, a − c = b − c und a² = b². In der formalen Logik entspricht dies der Leibnizschen Gleichheit: Gleiches kann durch Gleiches ersetzt werden, ohne die Wahrheit eines Ausdrucks zu verändern.

Anwendungen finden sich insbesondere in Beweisen, der algebraischen Vereinfachung, der Analysis (Umformen von Gleichungen), in computeralgebraischen Systemen sowie in der Programmierung, wo Substitutionen Teil von Transformationsregeln oder Term-Rewriting-Systemen sind. Grenzen ergeben sich in der Informatik bei Nebenwirkungen oder bei unvollständiger Definition von Funktionen; rein mathematisch bleibt die Substitution jedoch ein gültiges Prinzip.