Dualbündel

Ein Dualbündel E* über einer glatten Mannigfaltigkeit M ist das Vektor-Bündel, dessen Faser über einen Punkt p ∈ M der duale Vektorraum E_p* der Faser E_p des ursprünglichen Vektor-Bündels E → M ist. Formal bestehen die Fasern aus den linearen Abbildungen von E_p nach R, und E* besitzt dieselbe Knappheit (Rang) wie E.

Locale trivialisierung und Transitionen: Wenn E über eine offene Menge U trivialisiert ist als U × R^r, dann ist auch E* über U trivialisiert als U × R^r. Die Transition-Funktionen von E* ergeben sich aus den transponierten Inversen der Transition-Funktionen von E. Dadurch hat E* dieselbe Rangordnung wie E.

Beispiele und Bedeutung: Das Dual des Tangentialbündels TM ist das Kotangentialbündel T*M. Das Dual eines trivialisierbaren Bündels M × V ist M × V*. Ein zentrales Element ist die natürliche Paarung E_p × E_p* → R, die die Identifikation mit dem Dualraum ermöglicht. Differentialformen lassen sich als Abschnitte des Exterior-Algebra von T*M interpretieren, was die Bedeutung des Kotangentialbündels betont.

Morphismen, Pullbacks und Verknüpfungen: Zu jedem Bündel-Morphismus f: E → F existiert ein Dualmorphismus f*: F* → E*. Für eine Abbildung g: N → M gilt (g^*E)* ≅ g^*(E*). Eine Verbindung auf E induziert eine Verbindung auf E*, und unter einer geeigneten Metrik besteht oft eine natürliche Isomorphie E ≅ E*, wobei das konkrete Verhältnis vom Kontext abhängig ist.

Anwendungen: Dualbündel erscheinen in der Definition linearer Funktionale auf Faser-Räumen, in der Formulierung von Kovarianz- und kontravarianz-Vektorfeldern sowie in der Theorie der Differentialformen und ihrer Koordinatendarstellungen.