Kotangentialbündel

Der Kotangentialbündel über einer glatten Mannigfaltigkeit M ist der Vektorbündel, dessen Faser über jeden Punkt p ∈ M der Kotangentialraum T*_p M ist. Der Gesamtraum wird T* M genannt, und die Projektion π: T* M → M ordnet jedes Element seinem Basispunkt zu. Die Faser hat den Rang dim M, und das Bündel ist lokal trivialisiert wie ein Produkt U × R^n.

Formalisiert lautet der Aufbau: T* M als disjunkte Vereinigung ⊔_{p∈M} T*_p M; der Projektionstensor π zieht jedes Element auf seinen Kontaktpunkt. In lokalen Koordinaten x^1,…,x^n auf M lassen sich Kotangentialvektoren durch Koordinaten p_i beschreiben, so dass α_p = ∑ p_i dx^i. Die Übergangsfunktionen folgen den Koordinatentransformationen, wobei sich die Koordinaten p_i gemäß p'_j = ∑_i p_i ∂x^i/∂x'^j transformieren.

Es existiert ein kanonisches 1-Form θ auf T* M, definiert durch θ_{α_p}(v) = α_p(dπ(v)) für α_p ∈ T*_p M und v ∈ T_{α_p}(T* M). Die Exteriorform ω = dθ ist eine kanonische symplektische Form, wodurch T* M zu einem symplektischen Mannigfaltigen wird. Diese Struktur macht den Kotangentialbündel zum zentralen Phasenraum in der Hamiltonschen Mechanik; Hamiltonsche Vektorfelder erhalten durch ω ihre Definition, und die Legendre-Transformation verbindet Lagrange- und Hamiltonsche Formulierungen.

Beziehung zu Differentialformen: Sektoren des Kotangentialbündels entsprechen Differential 1-Formen auf M; ein globaler Abschnitt von T* M entspricht einer 1-Form auf M. Als Beispiel: Für M = R^n ist T* M identisch mit R^n × R^n; die kanonische Form lautet θ = ∑ p_i dx^i und ω = ∑ dp_i ∧ dx^i.