Dreifachprodukt

Dreifachprodukt bezeichnet in der Vektoranalysis das Produkt dreier Vektoren, das in zwei Formen auftreten kann: dem Skalar-Dreifachprodukt und dem Vektor-Dreifachprodukt. Beide Varianten liefern wichtige geometrische und algebraische Informationen über die drei Vektoren A, B und C.

Skalar-Dreifachprodukt: A · (B × C). Hierbei ist B × C der Vektor normal zur Ebene von B und C, dessen Betrag die Fläche des Parallelogramms spanned durch B und C darstellt. Das Skalarprodukt mit A ergibt einen Skalar, der dem Volumen des von A, B und C aufgespannten Parallelepipeds (mit Vorzeichen) entspricht: V = |A · (B × C)|. Wichtige Eigenschaften sind die zyklische Invarianz: A · (B × C) = B · (C × A) = C · (A × B), sowie die Linearität in jedem Argument.

Vektor-Dreifachprodukt: A × (B × C). Diese Form ergibt einen Vektor und folgt der Lagrangeschen Formel: A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B). Das Vektor-Dreifachprodukt wird in Mechanik, Elektrodynamik und Robotik genutzt, etwa bei Berechnungen von Orientierungen, Projektionen oder DrehMomenten. Es hängt von der Orientierung der Vektoren ab und lässt sich durch die bekannten Identitäten des Vektorprodukts ableiten.

Verwendungen und Zusammenhang: Das Skalar-Dreifachprodukt entspricht dem Determinantenwert der Matrix, deren Spalten A, B und C bilden. Es dient zur Bestimmung von Volumen, Orientierung und relativen Ausrichtungen der Vektoren. Der Begriff wird in der Regel als Dreifachprodukt zusammengefasst, wobei zwischen der skalar- und der vektorartigen Form unterschieden werden kann.