Drehvektoren

Drehvektoren bezeichnen in der Mechanik und Robotik die momentane Rotationsrate eines festen Körpers im dreidimensionalen Raum. Der Drehvektor ω ist ein dreidimensionaler Vektor; seine Richtung gibt die Achse der Rotation an, seine Länge entspricht der Winkelgeschwindigkeit in Radiant pro Sekunde. Damit beschreibt er lokal, wie sich die Orientierung eines Körpers mit der Zeit ändert.

Mathematisch hängt die Orientierung R(t) eines rigid-körpers über die Gleichung R′(t) = [ω(t)]× R(t) mit dem zugehörigen Drehoperator [ω]× zusammen. Hier ist [ω]× die schiefe Matrix, die aus ω gebildet wird und das Kreuzprodukt mit jedem Vektor v erfüllt [ω]× v = ω × v. Diese Darstellung liefert eine kompakte Beschreibung der Rotationsrate im Explizit-Raum SO(3).

Für eine endliche Rotation um eine Achse n mit Drehwinkel θ gilt der Rotationsvektor ρ = θ n. Der zugehörige Rotationsoperator ergibt sich durch die Exponentialabbildung R = exp([ρ]×). Damit verbindet der Drehvektor die lokale Rotationsrate mit der kumulierten Achsenrotation. Aufgrund der Nicht-Kommutativität von Rotationen muss bei zeitlich veränderlichen ω die Orientierung durch geeignete eindimensionale Approximationen oder durch die Gruppenstruktur von SO(3) behandelt werden.

In Anwendungen tritt der Drehvektor neben anderen Repräsentationen von Orientation auf, etwa Rotationsmatrizen, Quaternionen oder der Achsenwinkel-Darstellung. Die Einheit des Drehvektors ist rad/s; die Richtung folgt der Rechtshändigkeit. Drehvektoren ermöglichen eine kompakte, analytische Beschreibung von Rotationen in der Dynamik, Robotik und Computergraphik.