Drehmatrizen

Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit Determinante 1, die in der linearen Algebra als Repräsentationen von Drehungen im euklidischen Raum dienen. Eine n×n-Drehmatrix R erfüllt R^T R = I und det(R) = 1; damit gilt R^{-1} = R^T und Rotationen erhalten Längen und Winkel.

Im dreidimensionalen Raum bilden Drehmatrizen die Gruppe SO(3) der orientierungstreuen Orthogonalmatrizen. Allgemein kann eine Drehmatrix durch einen Rotationsvektor (Achse) u mit der Norm θ beschrieben werden (Axis–Angle). Rodrigues’ Formel liefert R = I cos θ + (1 − cos θ) uu^T + sin θ [u]_×, wobei [u]_× die Kreuzprodukts-Matrix ist. Bekannte Spezialformen sind Rotationen um die Koordinatenachsen: Rx(α), Ry(β), Rz(γ). Durch Multiplikation zweier Drehmatrizen entspricht dies der sukzessiven Drehung.

Drehmatrizen können über Euler-Winkel, Axis–Angle, oder Rotationsvektoren parametrisiert werden. Umgekehrt lassen sich aus einer Matrix die Rotationsachse und der Winkel extrahieren oder aus ihr die Quaternion ableiten. In der Informatik werden Drehmatrizen oft zusammen mit Slerp-Interpolation, Glätten von Animationen und 3D-Transformationspipelines genutzt.

In höheren Dimensionen bilden Drehmatrizen die Gruppe SO(n). Im numerischen Kontext ist darauf zu achten, dass Näherungen orthogonaler Matrizen entstehen; daher werden Orthogonalität und Determinante regelmäßig überprüft oder durch Orthogonalisierungstaktiken wie QR-Decomposition oder SVD korrigiert.

Verweise: Rodrigues’ Formel, Quaternions, Euler-Winkel, SO(3).