DirichletRandbedingungen

DirichletRandbedingungen, auch Dirichlet-Randbedingungen genannt, sind eine Art Randbedingung für partielle Differentialgleichungen. Sie legen fest, welchen Wert die gesuchte Funktion auf dem Rand des Definitionsbereichs annimmt, und bestimmen damit eindeutig die Lösung im Inneren des Bereichs.

Formulierung: Sei Ω ⊂ ℝ^n ein Gebiet mit Rand ∂Ω. Gesucht ist eine Funktion u: Ω̄ → ℝ, die eine Operator-Gleichung L[u] = f in Ω erfüllt und deren Randwert u = g auf ∂Ω gesetzt wird. Ein häufiges Beispiel ist die Laplace-Gleichung Δu = 0 in Ω mit der Randbedingung u = g auf ∂Ω. In physikalischen Anwendungen entspricht g oft einer festgelegten Temperatur- oder Konzentrationsverteilung an der Grenze.

Existenz, Eindeutigkeit und Regularität: Unter geeigneten Bedingungen auf Ω (z. B. glatte oder Lipschitz-Ränder) sowie auf den Randwerten g existiert eine eindeutige Lösung. Für Laplace u ist die Lösung im Inneren glatt, sofern g ausreichend regulär ist. Typische Beurteilungen nutzen Maximumprinzip, Energie- bzw. Lax-Millgram-Theorie.

Anwendungsbeispiele: In der Wärmeleitung oder Elektrostatik werden Randwerte häufig als festgelegte Temperaturen oder Potentiale verwendet. In der Mechanik steuern Dirichlet-Randbedingungen die Verschiebung oder Spannung an Begrenzungen.

Lösungsansätze: Analytisch lassen sich Dirichlet-Probleme durch Separation der Variablen, Grüne-Funktionen oder Integralgleichungen lösen. Numerisch sind Finite-Differenzen-Verfahren, Finite-Elemente-Verfahren und Boundary-Elemente-Verfahren verbreitet.

Varianten: Homogene Dirichletbedingungen (g ≡ 0) treten häufig auf; der Begriff verweist auf den deutschen Mathematiker Peter Gustav Lejeune Dirichlet.