Differentiaalvormen

Differentiaalvormen zijn antisymmetrische multilineaire vormen op de raakruimten van een gladde variëteit. Voor een gladde variëteit M definiëren we de k-vormruimte Ω^k(M) als de ruimte van k-vormen. 0-vormen zijn gladde functies op M, 1-vormen zijn secties van de cotangentbundel, en hogere vormen zijn antisymmetrische covariante tensoren. De verzameling Ω^*(M) = ⊕_k Ω^k(M) is een Z-graded algebra onder de wedge-product ∧, waardoor het de exterior algebra van de cotangentbundel vormt.

De belangrijkste operaties zijn de exterior derivative d: Ω^k(M) → Ω^{k+1}(M) met d^2 = 0 en de Leibnizregel d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (-1)^k ω ∧ dη. Voor een gladde kaart f: M → N geldt f^*: Ω^k(N) → Ω^k(M) en d(f^*ω) = f^*(dω). In lokale coördinaten kan ω worden geschreven als ω = ∑ f_I dx^{i1} ∧ ... ∧ dx^{ik}.

Integratie van k-vormen gebeurt op georiënteerde, k-dimensionale submanifolds. Stokes’ theorem verbindt d en oppervlaktegrens: ∫_M dω = ∫_{∂M} ω.

Voorbeelden en toepassingen: in ℝ^3 kan een 1-vorm α = a dx + b dy + c dz zijn; via de relatie met de Hodge-staart en een metriek geven d en ∗ expressies die overeenkomen met gradient, curl en divergence. Differentialvormen vormen ook de basis van de de Rham-cohomologie H^k_{dR}(M) = ker d / im d, een topologische invariant van M. In de natuurkunde en geometrie bieden ze een compact, coordinatenvrij framework voor velden en integratie op manifolds.