1vormen

1vormen, in het wiskundig jargon ook wel 1-formen genoemd, zijn covariante tensoren van rang 1 op een differentieerbare variëteit M. Bij elk punt p ∈ M wijst een 1-vorm ω_p een lineaire functionaal toe op de tangentruimte T_pM. Als ω een veld van 1-vormen is, dan is ω ∈ Γ(T^*M) en noemt men het een covectorveld.

In lokale coördinaten (x^1, ..., x^n) op een open U ⊂ M kan ω worden geschreven als ω = ∑_i ω_i dx^i, met ω_i ∈ C∞(U). Voor een vector v = ∑_i v^i ∂/∂x^i geeft ω(v) = ∑_i ω_i v^i.

De verzameling van alle gladde 1-vormen op M noemt Ω^1(M) of Γ(T^*M); dit is een C∞(M)-module. 1-vormen vormen de duale objecten tot de tangentbundle en spelen een centrale rol in de differentialiaalrekening op variëteiten. De differential d stuurt 0-vormen naar 1-vormen, df is de differential van f.

Andere operaties: de pullback f^*: Ω^1(M) → Ω^1(N) onder een passende kaart f: N → M; contractie i_X ω met een vectorveld X geeft een 0-vorm; het wedge-product ω ∧ η levert hogere vormen; en de exterior derivative d geeft Ω^k → Ω^{k+1}.

Voorbeelden: op de Euclidische ruimte R^n met de gebruikelijke coördinaten x^i is dx^i een basis-1-vorm; elke ω = ∑ f_i dx^i. Toepassingen: lijnintegraal ∫_γ ω = ∫_a^b ω(γ'(t)) dt; in de fysica verschijnen 1-vormen als functionals op snelheden.