Differentiaalilaskentaa

Differentiaalilaskenta on matematiikan osa, joka tutkii muutosnopeuksia sekä käyrien tangenttien ominaisuuksia. Keskeinen käsite on derivaatta, joka määritellään raja-arvona f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h. Derivaatta mittaa funktion arvojen muutoksen nopeutta ja antaa tangenttiviivan kulmakertoimen pisteessä x.

Keskeisiä tekniikoita ovat potenssien sekä tavallisten funktioiden derivointi sekä tulo- ja osamääräsäännöt sekä ketjusääntö. Näiden avulla voidaan erottaa suurin osa tavallisista funktioista. Joissakin tapauksissa käytetään implisiittistä derivoimista sekä osittaisderivaattoja monimutkaisissa, moniulotteisissa funktioissa.

Geometrisesti derivaatta on käyrän tangenttiviivan kulmakerroin, ja pienet muutokset liittyvät differentiaaliin dy. F(x+dx) ≈ f(x) + f'(x)dx antaa lineaarisen lähestymän. Derivaatat antavat myös käyrän paikkakohtaiset ennusteet muutosnopeuksista.

Fundamentaalinen laskuteoria yhdistää differentiaalilaskennan ja integraalilaskennan. Jos f on jatkuva välillä [a,b], määritelty integraali F(x) = ∫_a^x f(t) dt on sellainen, että F'(x) = f(x). Lisäksi ∫_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a).

Moniarvoisissa funktioissa käytetään osittaisderivaattoja ∂f/∂xi sekä gradienttia ja Hessiania. Näiden avulla voidaan analysoida useiden muuttujien funktioiden muotoa sekä suorittaa optimointia.

Sovellukset ulottuvat fysiikasta ja tekniikasta talouteen, biologiaan sekä simulointeihin. Differentiaalilaskentaa käytetään esimerkiksi liikenne- ja rakennesuunnittelussa sekä mallinnuksessa. Historian kannalta tärkeimpiä kehittäjiä olivat Isaac Newton ja Gottfried Wilhelm Leibniz, joiden työt loivat perustan modernille laskennalle.