Differansemetoder

Differansemetoder er numeriske metoder for å løse differensialligninger ved å erstatte deriverte med finite differanser på et fast rutenett. Ved å bruke verdier av løsningen på utvalgte punkter, fås en tilnærming til den egentlige løsningen.

Grunnidéen er å avgrense et problem til en diskret løsning på punkter x_i = i h. Første og andre derivert kan tilnærmes med ulike differanser: forward differences, backward differences og central differences. For eksempel kan første avledede tilnærmes med (f(x_{i+1}) - f(x_i))/h eller (f(x_{i+1}) - f(x_{i-1}))/(2h), og andre derivert med (f(x_{i+1}) - 2 f(x_i) + f(x_{i-1}))/h^2. Dette gir et system av ligninger som løses for de ukjente verdiene f(x_i).

Typer og tilnærminger inkluderer tidsdiskretisering av tidsavhengige problemer med eksplisitte metoder (som Eulers metode) eller implisitte metoder (Backward Euler, Crank-Nicolson). Romlig discretisering av PDEer fører ofte til store lineære systemer; i 1D er matrisa ofte tri-diagonal, noe som muliggjør effektiv løsning.

Anvendelser omfatter varmeledning, bølgeligning, Laplaces likning, fluiddynamikk og finans (for eksempel prisfastsettelse av opsjoner via Black–Scholes PDE). Egenskapene til metoden inkluderer avhengighet av stencil og trinnstørrelse for nøyaktighet, samt viktige konsepter som konsistens, konvergens og stabilitet; CFL-betingelsen er sentral for eksplisitte tidssteg.

Behandling av randbetingelser er en viktig del av implementasjonen. Dirichlet-, Neumann- og Robin-betingelser kan inkorporeres ved å angi verdier eller derivater på randene. Fordelene med differansemetoder inkluderer enkelhet og god ytelse på regulære gitter; begrensningene omfatter utfordringer ved komplekse geometrier og høye dimensjoner.