Différenciable

Différenciable est un terme utilisé en analyse mathématique pour décrire une fonction qui possède une dérivée en un point ou sur un ensemble. En une variable, une fonction f: I → R définie sur un intervalle I est différentiable en x0 ∈ I si la limite (f(x) − f(x0)) / (x − x0) existe et est finie lorsque x → x0. Cette limite est appelée la dérivée de f en x0, notée f′(x0).

En plusieurs variables, on parle de différentiabilité d'une fonction F: U ⊂ R^n → R (ou vers R^m). F est différentiable en a ∈ U s’il existe une application linéaire L: R^n → R telle que F(a+h) = F(a) + L(h) + o(∥h∥) lorsque h → 0. Cette application linéaire est le différentiel en a et est représentée par le gradient (ou la Jacobienne) lorsque l’on considère les dérivées partielles. Si F est différentiable en tous les points d’un ouvert U, on dit que F est différentiable sur U.

La différentiabilité implique la continuité: toute fonction différentiable est continue en son point. Des propriétés fondamentales incluent la règle de chaîne et les règles de dérivation pour les sommes et les produits de fonctions. Si g est différentiable en x et f est différentiable en g(x), alors f∘g est différentiable en x, et son dérivé est donné par la chaîne de dérivation.

On distingue les classes de differentiabilité: C^k désigne les fonctions dont les dérivées d’ordre jusqu’à k existent et sont continues; C^∞ est lisse et C^ω désigne les fonctions analytiques. Des exemples usuels: les polynômes, les exponentielles et les fonctions trigonométriques sont différentiables partout; f(x) = |x| n’est différentiable partout sauf en 0. À l’inverse, il existe des fonctions continues qui ne sont pas différentiables en aucun point (parfois appelée fonction de Weierstrass).