Diagonaalisointi

Diagonaalisointi on lineaarialgebrassa käytetty prosessi, jossa n × n-matriisi A esitetään samankaltaiseksi diagonaalimuodossa: A = P D P^{-1}. Siinä D on diagonaalimatriisi, jonka diagonaalilla ovat A:n ominaisarvot λ_1, …, λ_n, ja P:n sarakkeet ovat vastaavia ominaisvektoreita. Tällöin A ja D ovat samankaltaisia.

Diagonaalisointi on mahdollista, kun matriisilla on riittävästi lineaarisesti itsenäisiä ominaisvektoreita; toisin sanoen A on diagonaalisoitavissa, jos tilalle löytyy n lineaarisesti itsenäistä eigenvektoria, jotka muodostavat P:n. Tämä antaa P:n, jolla A = P D P^{-1}.

Menettely on seuraava: 1) lasketaan ominaisarvot λ ratkaisemalla det(A − λI) = 0. 2) jokaiselle λ:lle lasketaan eigenvektorit ratkaisemalla (A − λI)v = 0. 3) valitaan riittävä määrä lineaarisesti itsenäisiä eigenvektoreita ja rakennetaan P niiden mukaan. 4) D = diag(λ_1, …, λ_n). 5) jos P on käännettävissä, A = P D P^{-1}. Tämä tarkoittaa, että A on diagonaalisoitavissa.

Jos A ei ole diagonaalisoitavissa, sen Jordan-muotoinen muodostuma sisältää ei-triviaalin Jordan-lohkon. Esimerkkinä on matriisi [[0, 1], [0, 0]], jolla on ominaisarvo 0 mutta vain yksi lineaarisesti itsenäinen eigenvektori, eikä sitä voida diagonaalisesti esittää.

Diagonaalisoinnilla on monia käyttökohteita: se yksinkertaistaa matriisin potenssien laskemisen (A^k = P D^k P^{-1}) sekä eräiden lineaaristen järjestelmien ja differentiaaliyhtälömallien analysoinnin. Se liittyy myös Jordan-muotoon ja erityisesti symmetrisissä matriiseissa ilmenevään diagonaalisuuteen.