diagonaalisuuteen

Diagonaalisuus, illatiivisessa muodossa diagonaalisuuteen, on käsite, jota käytetään erityisesti lineaarialgebrassa. Se viittaa sekä diagonaaliseen rakennetyyppiin että siihen, että jokin rakennelma voidaan muuntaa diagonaalimuotoon. Illatiivimuotoa käytetään kuvaamaan siirtymää kohti diagonaalisuutta tai prosessia, jossa pyritään saavuttamaan diagonaalinen rakenne.

Lineaarialgebrassa diagonaalisuus liittyy erityisesti matriisien diagonaalisuuteen eli diagonalisoituvuuteen. Neliömatriisi A on diagonaalisoituva, jos siihen löytyy invertible P, jolla P^{-1} A P on diagonaalinen. Keskeinen ehto on, että jokaiselle ominaisarvolle löytyy riittävästi lineaarisesti riippuvia ominaisvektoreita; käytännössä, jos matriisilla on erilliset ominaisarvot, se on diagonaalisoituva. Toisin sanoen, jos matriisilla on n erillistä ominaisarvoa, se on diagonaalisoituva.

Esimerkkejä: A = [[4,0],[0,2]] on jo diagonaalinen. A = [[2,1],[0,3]] on diagonaalisoituva, koska sillä on erilliset ominaisarvot 2 ja 3. A = [[1,1],[0,1]] ei ole diagonaalisoituva, sillä ominaisarvo 1:llä on algebraic kertaluku 2 mutta geometrinen kertaluku 1.

Diagonaalisuutta käytetään yleisesti laskennan yksinkertaistamiseen. Kun matriisi on diagonaalinen tai diagonaalisoituva, sen potenssien, eksponentiaalien ja muiden funktioiden laskeminen sekä spektrianalyysi helpottuvat. Se antaa pääsanan omien arvojen kautta ja mahdollistaa järjestelmän decouplingin.