diagonaalimatriisi

Diagonaalimatriisi on n×n-matriisi, jonka ainoat ei-nollat alkiot sijaitsevat diagonaalilla ja joiden kaikki muut alkiot ovat nollia. Merkitään yleisesti D = diag(d1, d2, ..., dn).

Ominaisuudet: Diagonaalimatriisin ainoa ei-nollia sisältävä alue on diagonaalilla, joten a_{ij} = 0 kun i ≠ j. Sen ominaisuudet ovat suoraan riippuvaisia diagonaalialkioista: sen omien arvojen joukko on {d1, d2, ..., dn}, ja vastaavat omien vektorit ovat perusvektoreita, eli standardin basisvektoreita. Deteminantti on det(D) = ∏_{i=1}^n d_i ja tracen arvo tr(D) = ∑_{i=1}^n d_i. Inversio on olemassa täsmälleen silloin, kun kaikki d_i ≠ 0, ja sen muoto on D^{-1} = diag(d1^{-1}, ..., dn^{-1}). Operatiivisesti D x = (d1 x1, ..., dn x_n)^T, ja kahden diagonaalimatriisin tulo on DE = diag(d1 e1, ..., dn en).

Diagonaalisen muunnoksen ja diagonaalisoinnin yhteydessä: Monien matriisien analyysi voidaan helpottaa, kun ne ovat diagonaalisesti samankaltaisia tai suoraan diagonaalisia. Jos A on diagonaalisen muunnoksen tulos, löydetään invertible P ja diagonaalinen D siten A = P D P^{-1}, jolloin A:n ominaisuudet heijastuvat D:n diagonaalialkioihin. Tällöin A on diagonaalisesti esitettävissä omien arvojensa perusteella.

Käytännön sovellukset: Diagonaalimatriiseja käytetään laskennan yksinkertaistamiseen, koska niiden potenssit ja exponentiaalit ovat helppoja laskea. Esimerkiksi D^k = diag(d1^k, ..., dn^k) ja monien lineaaristen järjestelmien ratkaisuihin liittyvät operaatiot nopeutuvat, kun muunnokset ovat diagonaalisia.