nmatriisi

N-matriisi, eli n-by-n matriisi, on n riviä ja n saraketta muodostava matriisi, jonka alkioita voidaan pitää luvuina tai yleisemmin joukosta feildejä (esim. reaaliluvut R tai kompleksiluvut C). Sille annetaan usein tilallinen merkintä A ∈ F^{n×n}. N-matriisit kuvaavat lineaarisia muuntoja, jotka vievät nulostaulun nulkoon tai laajemmassa mielessä koordinaatistosta toiseen.

Toiminnot ja ominaisuudet. N-matriisia voidaan lisätä ja kertoa toisen n-matriisin kanssa sekä kertoa vektoreilla. Transpoosi A^T ja käänteismatriisi A^{-1} ovat keskeisiä käsitteitä; matriisi on käänteinen, jos ja vain, jos sen determinant det(A) ≠ 0. Ominaisarvot λ ratkaisevat epäyhtälön det(A−λI)=0. Nimellinen kuvastaja tr(A) on diagonaaliosien summa, ja se vastaa aallonlaajuuden tai summaarvojen ominaisuutta, kuten ominaisarvojen summa. Determinantti mittaa tilavuuden muuntumisen kertoimen.

Erikoistyypit. Tunnettuja erikoismatriiseja ovat identiteettimatriisi I_n, joka toimii perusmuuntumana; diagonaalimatriisit, joissa vain diagonaalilla on ei-nollia arvoja; symmetriset matriisit A^T = A; ortogonaaliset matriisit A^T A = I, jotka kuvaavat pystyjä tai kiertoja tilassa; positiivisesti määritellyt tai semidefiniittiset matriisit, joilla on erityisiä ominaisuuksia optimoinnissa ja tilanneanalyysissä.

Sovellukset. N-matriiseja käytetään lineaaristen järjestelmien ratkaisemisessa, lineaarialgebran transformaatioiden mallintamisessa, tietokonegrafiikassa, tilastotieteessä sekä koneoppimisessa ja kontrolliteoriassa. Teoreettisesti ne muodostavat M_n(F) -vektoriatilavuuden, jonka dimensio on n^2.

Lyhyesti, n-matriisi on perusrakenteellinen työkalu nulostaulukon muodostamille muunnoksille ja niiden algebran sekä sovellusten keskiössä.