Determinantti

Determinantti on n×n-matriisiin A liittyvä skalaarinen luku, det(A), joka kuvaa lineaarisen muunnoksen Ax vaikutuksesta tilavuuden skaalausta sekä kertoo muunnoksen kääntyvyydestä. Jos det(A) ≧ 0, muunnos voi olla invertible, ja jos det(A) = 0, muunnos on singulaarinen ja ei ole käänteinen. Determinanttia voidaan nähdä myös tilavuuden signaalina: sen vaikuttama tilavuus voi muuttua negatiiviseksi, jolloin muunnos kääntää koordinaatiston järjestystä.

Laskeminen voidaan tehdä usealla tavalla. 2×2-matriisille det[[a,b],[c,d]] = ad − bc. 3×3-tapauksessa käytetään usein Sarruksen sääntöä: det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33. Yleistettäessä determinantti voidaan laskea Laplace-laajennuksella tai käyttämällä rivien/palkkien suoritetun muokkauksen kautta muodostunutta LU- tai QR-muunnosta; näiden menetelmien yhteydessä det(A) saadaan tulokseksi lopullisesta diagonaalista tulosta.

Tärkeimmät ominaisuudet: det(AB) = det(A) det(B) ja det(A^T) = det(A); det(I) = 1; det(A) = 0, jos ja vain jos A on singulaarinen (ei ole käänteinen). Row-operaatiot vaikuttavat det(A) seuraavasti: kahden rivin vaihto vaihtaa merkin; saman rivin kertoimen kertominen muuttaa det(A) skaalaksi; toisen rivin lineaarinen yhdistelmä ei muuta determinanttia.

Sovellukset ja merkitys: determinantti liittyy suoraan invertibiliteettiin (kertolaskujen ratkaiseminen, esim. Cramer-teoreema), lineaarisiin muunnoksiin liittyvään tilavuus- ja orientaatiomuutokseen sekä matriisin ominaisarvoihin ja kääntäviin operaatioihin. Se on keskeinen käsite lineaarialgebrassa ja sovelluksissa kuten grafiikassa ja differentiaaligeometriassa.