2×2matriisille

2×2matriisi on matriisi, joka koostuu kahdesta rivistä ja kahdesta sarakkeesta. Merkitään A = [ [a, b], [c, d] ], jossa a, b, c ja d ovat matriisin elementtejä. Tämä neljästä luvusta muodostava rakenne määrittää lineaarisen muunnoksen R^2:sta R^2:een.

Peruslaskutoimitukset. Kahden 2×2matriisin summa on vastaavasti elementtikohtainen: [ [a, b], [c, d] ] + [ [e, f], [g, h] ] = [ [a+e, b+f], [c+g, d+h] ]. Skalaarin kertominen tehdään kertomalla kaikki elementit: kA = [ [ka, kb], [kc, kd] ]. Kertolasku A · B on tavallinen 2×2-matriisien tulo, ja se on assosiatiivinen ja komponenttien perusteella määritelty.

Determinantti ja kääntäminen. 2×2matriisin determinantti det(A) = ad − bc mittaa muun muassa alueen muutoksen suuruuden lineaarisessa muunnoksessa sekä kiertokykyn invertorisuuteen. Matriisi on kääntyvä, jos det(A) ≠ 0, jolloin käänteismatriisi on A^{-1} = (1/det(A)) [ [d, −b], [−c, a] ]. Tehon ja ratkaisujen kannalta determinantti on keskeinen indikaattori.

Vakiot ja ominaisuudet. Traci (jotka on a + d) sekä ominaisarvot ratkaistaan yhtälöstä λ^2 − (a+d)λ + (ad−bc) = 0. Ominaisarvot voivat olla realisia tai kompleksisia; niiden avulla voidaan tulkita muunnoksen suuntaa ja skaalausta sekä löytää ominaisvektorit. Erityisiä erottuvia muotoja ovat identiteetti, diagonaalimatriisit ja symmetriset matriisit.

Sovellukset. 2×2matriiseja käytetään järjestelmien lineaarisessa algebraan, grafiikassa kahdella ulottuvuudella sekä kahden ulottuvuuden lineaarisissa muunnoksissa, kuten kiertosa- ja skaalamuunnoksissa. Ne ovat myös keskeisiä pienimuotoisissa laskuissa, esimerkiksi LU-dekompositiossa ja ratkaisuissa lineaarisiin yhtälöihin.