Deformatiegradient

Deformatiegradient, ook wel deformation gradient genoemd, is een tensor die de lokale vervorming van een continu materiaal bij grote vervormingen beschrijft. Het geeft aan hoe een infinitesimaal materiaal-element in het referentiekader X wordt omgezet in het huidige, vervormde element in het ruimtelijke kader x.

De vervorming wordt beschreven door de deformationsmapping x = χ(X,t). De deformation gradient F is dan gedefinieerd als F = ∂x/∂X. Als x = X + u(X,t) is, met u de verplaatsingsveld, dan geldt F = I + ∂u/∂X. Een belangrijk afgeleide maat is J = det(F), het determinant van F, dat de volumeverandering weergeeft: J > 1 geeft expansie, J < 1 compressie.

F kan worden ontbonden in een polar-decompositie, bijvoorbeeld F = R U, waarbij R een rotatiematrix is en U een rechter stretchtensor. Een andere beschrijving is F = V R, met V als linker stretch. Deze decomposities helpen bij het onderscheiden van rotatie en rek. Vr, relatieve rekken worden vaak uitgedrukt via de Green-Lagrange strain E = 1/2 (F^T F − I). In het kleine-strain regime is het randvoorwaardelijk ε ≈ 1/2 (∇u + (∇u)^T).

Inwendige krachten en materiaaleigenschappen in modelberekeningen hangen vaak af van F of afgeleiden daarvan, zoals invarianten van F of van C = F^T F. Deformatiegradient is daarom essentieel in continue media, met toepassingen in structurele analyse, materiaalwetenschap en biomechanica, waar finite-deformatieanalyse en hyperelasticiteitsmodellen op basis van F worden toegepast.