Coördinatenalgebras

Coördinatenalgebras is de term uit de algebraïsche geometrie voor de algebra van functies die op een affine algebraische variëteit gedefinieerd zijn door polynomen. In wat volgt k is een algebraisch gesloten veld en V is een affine algebraische verzameling in k^n, gedefinieerd door de n variabelen x1,...,xn met een ideal I(V) ⊂ k[x1,...,xn] van polynomen die op alle punten van V nulwaarde hebben. De coördinatenalgebra van V is de quotient k[V] = k[x1,...,xn]/I(V). De elementen van k[V] worden gezien als polynoomfuncties op V.

Belangrijke eigenschappen: k[V] is een finitietypische k-algebra en fungeert als een algebraïsche beschrijving van V via de polynoomrelaties. V is irreducibel als en slechts wanneer I(V) een PRIEM-ideal is, in welk geval k[V] een integrale domein is. De relatie tussen de geometrie van V en de algebra van k[V] is fundamenteel: isomorfieën tussen variëteiten komen overeen met isomorfismen van hun coördinatenalgebras (omgekeerde afbeelding van morfismen). Voor een morfisme f: V → W leidt dit tot de pullback-functie f^*: k[W] → k[V].

Nullstellensatz en punten: als k algebraisch gesloten is, komen maximale idealen van k[V] overeen met k-punten van V, zodat k[V]/m ≅ k voor maximale m boven een punt in V. Dit geeft een brug tussen algebra en geometrie.

Voorbeelden: de affine ruimte A^n heeft coördinatenalgebra k[x1,...,xn]. Een ruimtelijke veeltermf xy = 1 in A^2 geeft k[x,y]/(xy−1) als coördinatenalgebra van die curve.

Samenvatting: coördinatenalgebras koppelen variëteiten aan finitief gegenereerde k-algebras, waardoor morphismen en puntenspecificaties via algebra verlopen.