Combinazioni

In matematica, una combinazione è una selezione di k elementi da un insieme di n elementi in cui l’ordine non conta. Le combinazioni si distinguono dalle permutazioni, in cui l’ordine degli elementi è rilevante. Le combinazioni sono utili per contare gruppi o sottoinsiemi indipendenti dall’ordine.

Combinazioni senza ripetizioni. Il numero di modi per scegliere k elementi da un insieme di n elementi è dato da C(n,k), chiamato coefficiente binomiale o “n scegli k”: C(n,k) = n! / (k!(n−k)!). Esso soddisfa anche la proprietà di simmetria C(n,k) = C(n,n−k). Ciascuna combinazione rappresenta un sottoinsieme di dimensione k.

Combinazioni con ripetizioni. Se è ammessa la ripetizione degli elementi, il numero di combinazioni di k elementi da n tipi è C(n+k−1, k). Questa formula si ottiene trasformando il problema in una combinazione senza ripetizioni con una codifica adeguata delle ripetizioni.

Esempi e applicazioni. Nei problemi pratici, le combinazioni servono a contare gruppi, come scegliere k studenti da una classe di n, selezionare colori o oggetti senza tener conto dell’ordine, o valutare scenari di probabilità. Le combinazioni sono fondamentali in statistica, teoria dei giochi, informatica e in molte impostazioni di analisi combinatoria.

Osservazioni correlate. Se l’ordine conta, si parla di permutazioni; se le ripetizioni non sono consentite, si parla di combinazioni senza ripetizioni, mentre se sono consentite si usa la nozione di combinazioni con ripetizioni.