combinazione

La combinazione è un concetto fondamentale della matematica combinatoria. In generale, una combinazione è una selezione di elementi presa da un insieme, in cui l ordine non è rilevante. A differenza della permutazione, dove l ordine conta, una combinazione riguarda solo quali elementi sono stati scelti. Esistono casi senza ripetizione e con ripetizione, che indicano se è possibile riutilizzare elementi e se si tiene conto dell ordine.

Combinazioni senza ripetizione: dato un insieme di n elementi, il numero di modi per sceglierne k è C(n,k) (n su k). Il valore è n!/(k!(n-k)!). Si può calcolare anche come n(n-1)...(n-k+1)/k!.

Combinazioni con ripetizione: se è consentito riutilizzare elementi e si vogliono scegliere k elementi da n tipi, il numero di combinazioni è C(n+k-1, k) = (n+k-1)!/(k!(n-1)!). Questa formula si interpreta spesso con la tecnica delle stelle e barre.

Relazione con le permutazioni: una permutazione di k elementi presi da un insieme di n elementi si chiama P(n,k) e vale P(n,k) = n!/(n-k)!. In generale, le combinazioni descrivono insiemi non ordinati, mentre le permutazioni riguardano ordini differenti.

Applicazioni e note storiche: le combinazioni trovano impiego in probabilità, statistica, design di esperimenti e algoritmi di enumerazione. I coefficienti binomiali e la notazione C(n,k) derivano dall’opera di matematici come Pascal e Newton, fornendo una base al conteggio delle combinazioni.