Båglängd

Båglängd är längden längs en kurva i ett euklidiskt rum och mäter hur långt en punkt förflyttar sig längs kurvan mellan två punkter. Begreppet används inom geometri, analys och tillämpningar som vägdesign, robotik och datorgrafik. Det är viktigt att inte förväxla båglängd med våglängd, som används för periodiska fenomen.

För en kurva r(t) = (x(t), y(t), z(t)) med t i intervallet [a, b] ges båglängden av s = ∫_a^b |r'(t)| dt, där |r'(t)| = sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 + (dz/dt)^2). Den differentiala längden ds = |dr| = sqrt(dx^2 + dy^2 + dz^2) utgör små bitar av längd längs kurvan.

Speciellt i planet gäller om kurvan är given som y = f(x) mellan x1 och x2 att s = ∫_x1^x2 sqrt(1 + (f'(x))^2) dx. För en parametrisering x = x(t), y = y(t) gäller s = ∫_a^b sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt.

Arclängden kan användas som parameterisering genom att låta kurvan beskrivas med arclängden s själv, vilket ger enhetsfart där |dr/ds| = 1. Båglängd är invariant under omparametrisering.

Praktiskt uppskattas båglängden ofta numeriskt som summan av längderna hos små segment längs kurvan, speciellt när kurvan inte har en sluten analytisk form. Användningar omfattar beräkning av vägsträckor, rörelseplanering och geometri i datorgraphics.

---