Blochsfæren

Blochs sfär är en geometrisk representation av rena tillstånd hos ett tvånivåsystem (qubit). Varje ren kvanttillstånd motsvarar en punkt på ytan av en enhetskula i tre dimensioner, medan blandade tillstånd återges inne i sfären i det som kallas Bloch-ball. Ett kvanttillstånd kan beskrivas med densitetoperatorn ρ = (I + r·σ)/2, där σ = (σ_x, σ_y, σ_z) är Pauli-matriserna och r är Bloch-vektorn med komponenterna (x, y, z) = (Tr(ρ σ_x), Tr(ρ σ_y), Tr(ρ σ_z)). Storleken |r| ≤ 1, och |r| = 1 gäller för rena tillstånd, |r| < 1 för blandade.

Varje ren stat kan skrivas som |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^{iφ} sin(θ/2)|1⟩, där θ ∈ [0, π] är polära vinkeln och φ ∈ [0, 2π) azimutala vinkeln. På Blochs sfär motsvarar θ och φ de polära respektive azimutala vinklarna för r, så |ψ⟩ avbildas till r = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ). Basisstaterna |0⟩ och |1⟩ ligger vid nordpolen respektive sydpolen.

Enhetsutvecklingar U på qubiten motsvarar rotationer av Blochs-vektorn: r → R r, där R ∈ SO(3) är den bild som U ger i den adjungerade representationen av SU(2). Blochs sfär används som ett visuellt verktyg för kvantstatstomografi, kvantportar och studier av kvantbiten dynamik.

Historik: Representationen introducerades av Felix Bloch 1946 i samband med NMR.