enhetskula

Enhetskula, eller enhetskulen, er mengden av alle punkter i n-dimensjonal euklidisk rom R^n som har avstand én fra origo. Den skrives ofte som S^{n-1} = { x ∈ R^n : ||x|| = 1 }. Den er grensflaten til enhetskulen (enhetsbollen) B^n = { x ∈ R^n : ||x|| ≤ 1 }. S^1 i R^2 er derfor enhetssirkelen, mens S^2 i R^3 er kuleflaten (overflaten til enhetskulen i tre dimensjoner).

Egenskaper og struktur

Enhetskulen er en kompakt, lukket underflate som er en glatt undergruppe av R^n; den er en glatte underflate av dimensjon n−1 for n ≥ 2. Den er homogen under alle ortogonale transformasjoner, noe som betyr at alle punkt på S^{n-1} er likt med hensyn til rotasjoner og speilninger. Topologisk er S^{n-1} sammenhengende for n ≥ 2; den har ikke samme enkle forbindelsestilstand for alle n. For eksempel er S^1 ikke enkeltbundet, mens S^{n-1} er enkeltbundet for n ≥ 3.

mål og koordinater

Overflatearealet til S^{n-1} er A(S^{n-1}) = 2 π^{n/2} / Γ(n/2). Volumet av enhetskulen B^n er V(B^n) = π^{n/2} / Γ(n/2 + 1). Spherical koordinater gir parametrisering av S^{n-1}, og i praktiske tilfeller brukes ofte spesifikke tilfeller som φ og θ i tre dimensjoner.

Anvendelser

Enhetskulen brukes i geometri, fysikk, datavitenskap og statistikk som en modell for retninger, normalisering av vektorer, sampling av retninger og analyse av data på sfæren. I mange algoritmer er normalisering av vektorer til enhetskulen et vanlig steg.