Beweisformen

Beweisformen bezeichnet in der Mathematik die verschiedenen Methoden, mit denen eine Behauptung formal begründet wird. Ziel ist eine klare, logische Argumentation, die aus anerkannten Axiomen und bekannten Sätzen folgt.

Direkter Beweis: Ausgehend von den Voraussetzungen folgt die Behauptung unmittelbar durch logische Folgerungen. Typisch ist eine Schritt-für-Schritt-Begründung, die jeden Schluss sauber herleitet.

Beweis durch Widerspruch: Angenommen, die Behauptung sei falsch. Aus dieser Annahme ergeben sich logische Folgerungen, die zu einem Widerspruch führen. Daraus folgt die ursprüngliche Behauptung wahr.

Beweis durch Kontraposition: Aus einer Implikation p → q lässt sich oft die Gegenbehauptung ¬q → ¬p beweisen. Wenn die Kontraposition leichter zu zeigen ist, ist dieser Weg besonders nützlich.

Beweis durch Induktion: Zunächst wird der Basisfall geprüft, danach wird gezeigt, dass aus einer wahrscheinlichen Annahme für eine Zahl n der Fall auch für n+1 folgt (vollständige Induktion). Es gibt auch strukturierte oder transfinite Varianten in bestimmten Kontexten.

Beweis durch Fallunterscheidung: Die Behauptung wird in mehrere disjunkte Fälle zerlegt, und jeder Fall wird separat bewiesen. Am Ende gilt die Aussage für alle möglichen Fälle.

Beweis durch Konstruktion: Die Existenz eines Objekts wird durch eine explizite Herstellung oder ein Konstruktionsverfahren gezeigt, häufig mit einer Beschreibung, wie das Objekt entsteht.

Beweis durch Gegenbeispiel: Um eine universelle Behauptung zu widerlegen, reicht ein einzelnes Gegenbeispiel. Damit wird die allgemeine Behauptung falsifiziert.

Allgemeine Hinweise: Beweise sollten präzise formuliert, alle Voraussetzungen angegeben und der logische Zusammenhang klar nachvollziehbar sein. Mögliche Grenzfälle und Unklarheiten sind zu prüfen.