Bernoulliverdeling

Bernoulliverdeling er en diskret sandsynlighedsfordeling for en stokastisk variabel X, der kun kan antage værdierne 0 eller 1. Den beskrives af parameteren p ∈ [0,1], som er sandsynligheden for succes (X=1). Sandsynlighederne er P(X=1)=p og P(X=0)=1-p. Forventningen er E[X]=p og variansen Var(X)=p(1-p). Momentgenererende funktion er M_X(t)=1-p+p e^t.

Bernoulliverdelingen er en grundmodel for ja/nej-udfald og er byggesten for binomialfordelingen: hvis X1, ..., Xn er uafhængige og identisk fordelt som Bernoulli(p), så er S_n = ∑ X_i binomial(n,p). Denne relation gør Bernoulli til det enkleste tilfælde af en familie af tællingsfordelinger og understøtter modellering af antal succeser i flere gentagne forsøg.

Anvendelser omfatter kvalitetskontrol, afprøvninger og generel modellering af binære udfald. I statistik og maskinlæring bruges Bernoulli-sandynligheden som grundlag for modeller af enkelt binært respons, eksempelvis i logistisk regression eller som delkomponent i mere komplekse modeller.

Estimering af parameteren p sker ofte med den maksimale sandsynlighed, hvilket giver p̂ = (antal af succeser)/n. Konfidensintervaller for p kan udledes via normalapproximation eller eksakte binomiale metoder. Hvis p=0 eller p=1, er Var(X)=0 og fordelingen er degenerate. Entropien for Bernoulli(p) er H(p) = -p log p -(1-p) log(1-p).