Bernoullifördelning

Bernoullifördelning, eller Bernoulli-fördelning, är en diskret sannolikhetsfördelning som beskriver utfallet av ett enda binärt försök, ofta kallat framgång och misslyckande. Parametern p i intervallet [0,1] anger sannolikheten för framgång.

Sannolikhetsfunktionen är P(X=1)=p och P(X=0)=1-p. Mer generellt gäller P(X=x)=p^x(1-p)^{1-x} för x∈{0,1}. Den kumulativa sannolikhetsfunktionen är F(x)=0 för x<0, F(x)=1-p för 0≤x<1 och F(x)=1 för x≥1.

Förväntningen och variansen är E[X]=p och Var(X)=p(1-p). För p=0 eller p=1 är fördelningen degenerate (konstant).

Momentgenererande funktion (MGF) är M(t)=E[e^{tX}]=(1-p)+pe^{t}. Den sannolikhetsgenererande funktionen är G(s)=(1-p)+ps.

Relation till andra fördelningar: Om man summerar n oberoende Bernoulli(p)-variabler får man en Binomial(n,p)-fördelning. Då är E[ΣXi]=np och Var[ΣXi]=np(1-p). MLE för p är p-hat = (1/n)∑Xi, dvs. andelen lyckade i urvalet.

Användningar innefattar modellering av ja/nej-utfall, kvalitetskontroll och enkät- eller opinionsdata där varje observation är antingen framgång eller misslyckande. Bernoullifördelningen utgör byggstenen i binomialfördelningen och är en av de enklaste discretfördelningarna.