Bernoullipvariabler

Bernoullivariabler är grundläggande begrepp inom sannolikhetslära och statistik. En Bernoullivariabel är en slumpvariabel som kan anta endast två möjliga utfall, vanligtvis representerade som 0 och 1. Utfallet 1 representerar en "framgång" och utfallet 0 representerar ett "misslyckande".

Sannolikheten för framgång betecknas vanligtvis med $p$, medan sannolikheten för misslyckande betecknas med $q = 1-p$. För en Bernoullivariabel $X$ gäller alltså $P(X=1) = p$ och $P(X=0) = 1-p$.

Väntevärdet för en Bernoullivariabel är $E(X) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$. Variansen för en Bernoullivariabel är $Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$. Eftersom $X^2$ bara kan anta värdena $1^2=1$ (om $X=1$) och $0^2=0$ (om $X=0$), är $E(X^2) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$. Därför blir variansen $Var(X) = p - p^2 = p(1-p)$.

Bernoullifördelningen är den enklaste fördelningen för diskreta slumpvariabler. Många mer komplexa fördelningar kan härledas från Bernoullifördelningen. Till exempel är en binomialfördelning summan av flera oberoende Bernoullifördelade slumpvariabler.

Exempel på Bernoullifördelade händelser inkluderar resultatet av ett enskilt myntkast (krona eller klave), om en kund köper en produkt eller inte, eller om ett testresultat är positivt eller negativt.