binomialfördelning

Binomialfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning som beskriver antalet framgångar i n oberoende Bernoulli-försök där varje försök har sannolikheten p för framgång. Parametrarna är n och p, där n är antal försök (n ∈ naturliga talet, n ≥ 0) och p i intervallet [0, 1].

Sannolikheten att få k framgångar, där k är mellan 0 och n, ges av sannolikheten P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n−k}, där C(n, k) = n!/(k!(n−k)!). Fördelningen har stöd på {0, 1, ..., n}.

Värdena förväntat antal framgångar och varians är E[X] = n p och Var[X] = n p (1 − p). Modus är m = ⌊(n+1)p⌋ om (n+1)p inte är ett heltal; om (n+1)p är heltal finns två modala värden, (n+1)p och (n+1)p − 1. Fördelningen uppträder som summan av n oberoende Bernoulli(p) variabler och har genererande funktion M_X(t) = (1 − p + p e^t)^n.

Användningar är vanliga inom kvalitetskontroll, biologi, undersökningsdesign och statistik där man modellerar antalet framgångar i en fast mängd försök. I stora n kan binomialfördelningen approximeras med en normalfördelning X ≈ Normal(n p, n p (1 − p)) när p inte ligger nära 0 eller 1. Om n är stort och p är litet kan den även approximeras med en Poisson-fördelning X ≈ Poisson(n p).