binomialfördelningen

Binomialfördelningen är en diskret sannolikhetsfördelning som beskriver antalet lyckade utfall i ett fast, helt oberoende antal Bernoulli-försök där varje försök har sannolikheten p att lyckas. Om X betecknar antalet lyckade i n sådana försök så följer X distributionen Binomial(n,p).

Den diskreta sannolikhetsmassfunktionen är P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^{n-k}, för k = 0,1,...,n. Förväntat värde och varians är E[X] = np och Var[X] = np(1-p). Fördelningen gäller endast när försöken är oberoende och varje försök har samma sannolikhet p för lyckas.

Antaganden: n fasta försök genomförs, varje försök är oberoende och har samma sannolikhet p för framgång. X är då antalet framgångar bland dessa försök. Från mellersta egenskaper finns även MGF: M_X(t) = (1-p + p e^t)^n.

Egenskaper: Fördelningen är helt definierad av parametrarna n och p. Den är symmetrisk när p = 0,5 och blir allt mer skev när p avviker från 0,5. Namnvariant är att binomialen är summan av n oberoende Bernoulli-försök.

Användningar och förhållanden: Binomialfördelningen används ofta för att modellera antal framgångar i kvalitetskontroll, genetiska studier, marknadsundersökningar och andra sammanhang där man räknar antal lyckade utfall i ett fast antal försök.

Approximationer: Vid stort n kan X approximeras av en normalfördelning med medelvärde np och varians np(1-p). Om p är liten och n är stort används ofta Poisson-approximationen med parameter λ = np. Relationen till andra modeller gör binomialen till grundläggande byggsten i sannolikhetsläran.