Beobachtungskovarianz

Beobachtungskovarianz bezeichnet in statistischen Modellen die Kovarianz der Beobachtungsfehler, also die Unsicherheit, die mit gemessenen Größen verbunden ist. In einem typischen Zustandsschätzungsmodell wird der Messvorgang oft beschrieben durch y_t = H x_t + v_t, wobei v_t das Beobachtungsrauschen ist und v_t eine Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 und Kovarianzmatrix R besitzt. Die Matrix R wird daher auch als Beobachtungskovarianzmatrix bezeichnet und codiert die Varianzen der Messgrößen sowie deren Korrelationen.

Eigenschaften und Bedeutung spielen eine zentrale Rolle in der Schätzung und Datenfusion. R ist in der Regel symmetrisch und positiv semidefinit. Je kleiner die Werte in R, desto größer ist das Vertrauen in die Messungen, was das Gewicht der Beobachtungen im Filter oder in der Datenfusion erhöht. Umgekehrt führt ein großes R zu einer geringeren Einflussnahme der Messdaten. In vielen Anwendungen ist R zeitabhängig (R_t) oder sogar nicht-linear, wodurch die Modellierung der Messfehler komplexer wird.

Schätzung und Anwendung. In der Praxis wird R oft als bekannt vorausgesetzt, doch es lässt sich auch schätzen, etwa durch Maximum-Likelihood-Verfahren, EM-Algorithmen, oder aus Residuen-Analysen des Kalman-Filters ableiten. Eine falsche Wahl von R kann zu Überschätzung oder Unterbewertung der Messungen führen und Filterstabilität sowie Schätzergebnisse beeinträchtigen. Beobachtungskovarianz spielt daher eine zentrale Rolle in Kalman-Filtern, Sensorfusion, Navigation, Geodatenassimilation und anderen statistischen Inferenz- und Regelungsanwendungen.