Basisoperaties

Basisoperaties verwijst in de lineaire algebra naar de bewerkingen die nodig zijn om met een basis van een vectorruimte te werken. Een basis is een verzameling vectoren die lineair onafhankelijk is en de hele ruimte opspant. Met zo’n basis kunnen alle vectoren in de ruimte uniek worden uitgedrukt als lineaire combinaties van de basisvectoren.

Als B = {b1, ..., bn} een basis is van een vectorruimte V over een veld F, dan geldt voor elk v in V dat er unieke scalars c1, ..., cn in F bestaan zodat v = c1 b1 + ... + cn bn. De verzameling van coördinaten [v]_B = (c1, ..., cn) noemt men de coördinaten van v ten opzichte van de basis B. De basisoperaties omvatten:

- Vector- en coördinaatbewerkingen: als u v = sum_i c_i b_i en w = sum_i d_i b_i hebt, dan is v + w = sum_i (c_i + d_i) b_i en a v = sum_i (a c_i) b_i voor een scalar a in F. De coördinaten reageren op dezelfde regels: [v + w]_B = [v]_B + [w]_B en [a v]_B = a [v]_B.

- Lineaire combinaties en span: alle elementen van span(B) worden zo gevormd. De ruimte V is gelijk aan span(B).

- Verandering van basis: naar een andere basis C gebruik je een veranderingsmatrix P zodat [v]_C = P^{-1} [v]_B. De matricesymbolen hangen af van de gekozen bases.

Voorbeelden en toepassingen: in R^2 met de standaardbasis e1, e2 vertegenwoordigt een vector (3,4) 3 e1 + 4 e2; wisselen naar een andere basis vereist een nieuwe coördinaatvector via de veranderingsmatrix. Basisoperaties zijn fundamenteel bij het oplossen van lineaire systemen en het representeren van lineaire operatoren.