Basisabhängigkeit

Basisabhängigkeit bezeichnet in der linearen Algebra die Eigenschaft einer endlichen Menge von Vektoren, dass eine nicht-triviale Linearkombination dieser Vektoren den Nullvektor ergibt. Eine solche Menge heißt lineare Abhängigkeit; eine Menge, für die keine solche Kombination existiert, heißt linear unabhängig.

Gleichwertige Charakterisierungen sind: Einer der Vektoren lässt sich als Linearkombination der übrigen ausdrücken, oder die Menge erzeugt denselben Unterraum wie eine kleinere Teilmenge. In jedem endlichen Vektorraum gilt außerdem: Eine Menge ist linear abhängig, wenn die Anzahl der Vektoren größer ist als die Dimension des von ihnen aufgespannten Raums bzw. wenn der Rang der Matrix, deren Spalten die Vektoren sind, kleiner als deren Anzahl ist.

Beziehung zu einer Basis: Eine Basis eines Vektorraums ist eine endliche, lineare unabhängige Menge, die den Raum aufspannt. War eine Menge abhängig, lässt sich durch Entfernen redundanter Vektoren eine Basis der gleichen Untermenge erhalten. Umgekehrt spannt jede Basis den Raum auf, und alle Basen eines endlichen Vekturraums haben dieselbe Kardinalität, nämlich die Dimension des Raums.

Test- und Rechenmethoden: Man bildet eine Matrix A mit den Vektoren als Spalten. Der Rang von A gibt die Dimension des von ihnen aufgespannten Unterraums an; ist der Rang gleich der Anzahl der Vektoren, ist die Menge unabhängig, andernfalls abhängig. Alternativ löst man das Gleichungssystem sum ai vi = 0; nur die triviale Lösung bedeutet Unabhängigkeit.

Beispiel: In R^3 sind die Vektoren (1,0,0), (0,1,0) und (1,1,0) linear abhängig, da (1,1,0) als Summe der ersten beiden dargestellt werden kann.