Basisabhängige

Basisabhängige Größen sind Größen in einem Vektorraum, deren Darstellung oder numerischer Wert sich ändert, wenn die Basis des Raums gewechselt wird. Sie hängen von der gewählten Basis ab, während basisunabhängige Größen durch intrinsische Eigenschaften des Objekts festgelegt sind und bei einem Basiswechsel unverändert bleiben.

Ein einfaches Beispiel sind die Koordinaten eines Vektors in einer bestimmten Basis. Sind B und B' zwei Basen, die durch eine invertierbare Matrix P miteinander verbunden sind, dann gilt: [x]_{B'} = P^{-1} [x]_B. Damit ist [x]_B basisabhängig; das zugrundeliegende Objekt x selbst ist dagegen basisunabhängig.

Bei Operatoren und Matrizen verhält es sich ähnlich: Die Matrixdarstellung A_B eines Operators A in der Basis B verwandelt sich unter Basiswechsel nach A_{B'} = P^{-1} A_B P. Bestimmte Größen, wie die Eigenwerte, bleiben unverändert, da sie Eigenschaften des Operators sind, unabhängig von der Darstellung. Auch Determinante und Spur bleiben unter solchen Ähnlichkeiten invariant. Die einzelnen Komponenten verändern sich jedoch mit der Basis. Bei Tensoren verändern sich die Komponenten nach der Transformationsregel; das zugrunde liegende Tensorobjekt bleibt jedoch basisunabhängig.

Anwendungsgebiete finden sich in der linearen Algebra, Physik und Informatik, beispielsweise bei der Darstellung von Vektoren, Matrizen und Tensoren in verschiedenen Koordinatensystemen. Das Konzept der Basisabhängigkeit hilft zu unterscheiden zwischen Darstellung und inhärenter Eigenschaft eines Objekts.