Außenprodukt

Außenprodukt, in der Mathematik auch als äußeres oder Wedge-Produkt bekannt, bezeichnet einen bilinearen, antisymmetrischen Rechtsoperator, der zwei Vektoren aus einem Vektorraum V über einem Körper F zu einem bivectoren Element in Λ2V zusammenfasst. Für Vektoren u und v gilt u ∧ v als das Außenprodukt von u und v. Es erfüllt Bilinearität und Antisymmetrie, also u ∧ v = - v ∧ u, und u ∧ u = 0.

In Koordinaten lässt sich das Außenprodukt durch die Komponenten beschreiben: Wenn u = (u1, ..., un) und v = (v1, ..., vn) sind, dann ist der bivector u ∧ v ein Element von Λ2V mit den Komponenten (u_i v_j − u_j v_i) für i < j. In drei Dimensionen besteht eine enge Verbindung zum Vektorprodukt: Λ2R3 lässt sich über eine geeignete Identifikation mit R3 auf Vektoren abbilden, so dass u × v eng mit dem Außenprodukt zusammenhängt (gezielt über Orientierung und Hodge-Stern-Operator bzw. Levi-Civita-Symbol).

Das Außenprodukt lässt sich auf mehr als zwei Vektoren erweitern; das Gesamtsystem wird durch das äußere Algebra Λ(V) in ΛkV fortgeführt. Es ist antisymmetrisch und assoziativ in der Multilinearstruktur, mit der Eigenschaft, dass u ∧ v die Orientierung und den Flächeninhalt des Parallelogramms von u und v kodiert.

Historisch führte Hermann Grassmann das Konzept der äußeren Algebra ein; das Außenprodukt ist ein zentrales Werkzeug in Geometrie, Differentialformen und Physik. See also exterior algebra, wedge product, bivector, cross product.